Cho số phức z thỏa mãn trị tuyệt đối của z - 1 - i + trị tuyệt đối của z - 3 - 2i = căn bậc 2 của 5 . Giá trị lớn nhất của trị tuyệt đối của z + 2i bằng

Đáp án B

Gọi $z=x+yi,\left(x,y\in ℝ\right)$ .

Khi đó $\left|z-1-i\right|+\left|z-3-2i\right|=\sqrt{5}\iff \left|\left(x-1\right)+\left(y-1\right)i\right|+\left|\left(x-3\right)+\left(y-2\right)i\right|=\sqrt{5}\left(1\right)$ .

Trong mặt phẳng Oxy, đặt $A\left(1;1\right);B\left(3;2\right);M\left(a;b\right)$ .

$\Rightarrow$Số phức z thỏa mãn (1) là tập hợp điểm $M\left(a;b\right)$  trên mặt phẳng hệ tọa độ Oxy thỏa mãn $MA+MB=\sqrt{5}$ .

Mặt khác $AB=\sqrt{{\left(3-1\right)}^2+{\left(2-1\right)}^2}=\sqrt{5}$ nên quỹ tích điểm M là đoạn thẳng AB.

Ta có $\left|z+2i\right|=\left|a+\left(b+2\right)i\right|$ . Đặt $N\left(0;-2\right)$ thì $\left|z+2i\right|=MN$ .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên đường thẳng AB.

Phương trình AB: $x-2y+1=0$ .

Ta có $H\left(-1;0\right)$ nên hai điểm A, B nằm cùng phía đối với H.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}AN=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\\ BN=\sqrt{3^2+{\left(2+2\right)}^2}=5\end{array}\right.$ .

Vì M thuộc đoạn thẳng AB nên áp dụng tính chất đường xiên và hình chiếu ta có $AN\le MN\le BN=5$ .

Vậy giá trị lớn nhất của $\left|z+2i\right|$ bằng 5 đạt được khi $M\equiv B\left(3;2\right)$ , tức là $z=3+2i$.