Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a ,góc ASB = góc ASC = 90 độ, góc BSC =60 độ. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Ta có $AB=AC=a\sqrt{2},BC=a$ , suy ra tam giác ABC cân tại A.

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, SB và SA.

Gọi $I=SM\cap CN$ thì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC.

Qua I dựng đường thẳng d song song với SA, dễ thấy $SA\perp \left(SBC\right)$ nên $d\perp \left(SBC\right)$, suy ra d là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC.

Trong mặt phẳng $\left(SAM\right)$ dựng trung trực của SA cắt d tại O, khi đó $OA=OS=OB=OC$ nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$ .

Ta có $SM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SI=\frac{2}{3}SM=\frac{a}{\sqrt{3}}$ . Tứ giác SIOP là hình chữ nhật nên $O{S}^2=S{I}^2+S{P}^2=\frac{a^2}{3}+\frac{a^2}{4}=\frac{7a^2}{12}\Rightarrow SO=\frac{a\sqrt{21}}{6}$.

Diện tích mặt cầu $S=4\pi .S{O}^2=4\pi .\frac{7a^2}{12}=\frac{7\pi a^2}{3}$ .