Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3 cm. Gọi M là trung điểm của CD. Khoảng cách giữa AC và BM là

Đáp án B

Gọi G là tâm tam giác đều BCD .$\Rightarrow AG\perp \left(BCD\right)$

Trong mặt phẳng $\left(BCD\right)$ , dựng hình bình hành BMCN mà $BM\perp CM$ nên BMCN là hình chữ nhật.

Ta có $BM\text{//}\left(ACN\right)$

$\Rightarrow d\left(BM,AC\right)=d\left(BM,\left(ACN\right)\right)=d\left(G,\left(ACN\right)\right)$.

Kẻ $GK\perp NC\left(K\in NC\right)$  và $GH\perp AK\left(H\in AK\right)$

$\Rightarrow d\left(G,\left(ACN\right)\right)=GH$.

Ta có $AG=\sqrt{A{B}^2-B{G}^2}=\sqrt{9-{\left(\frac{2}{3}.\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\sqrt{6}cm,GK=CM=\frac{3}{2}cm$ .

Vậy $GH=\frac{AG.GK}{\sqrt{A{G}^2+G{K}^2}}=\frac{\sqrt{6}.\frac{3}{2}}{\sqrt{6+\frac{9}{4}}}=\frac{3\sqrt{22}}{11}cm$ .