Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = |x^3 - x^2 + (m^2 + 1)x - 4m - 7|

Xét hàm số $y=x^3-x^2+\left(m^2+1\right)x-4m-7$ trên đoạn [0; 2]

Ta có: $y\text{'}=3x^2-2x+m^2+1$

$\Delta \text{'}={\left(-1\right)}^2-3\left(m^2+1\right)=1-3m^2-3=-3m^2-2<0$ với $\forall m.$

$\Rightarrow y\text{'}>0$ với mọi $\forall m.$

$\Rightarrow$ hàm số $y=x^3-x^2+\left(m^2+1\right)x-4m-7$ luôn đồng biến trên đoạn [0; 2]

$\Rightarrow \underset{\left[0;2\right]}{\max }f\left(x\right)=\max \left\{f\left(0\right);f\left(2\right)\right\}=\max \left\{\left|4m+7\right|;\left|2m^2-4m-1\right|\right\}.$

Bất phương trình: $\left|4m+7\right|\ge \left|2m^2-4m-1\right|\iff {\left(4m+7\right)}^2\ge {\left(2m^2-4m-1\right)}^2$

$\iff {\left(4m+7\right)}^2-{\left(2m^2-4m-1\right)}^2\ge 0\iff \left(4m+7-2m^2+4m+1\right)\left(4m+7+2m^2-4m-1\right)\ge 0$

$\iff \left(-2m^2+8m+8\right)\left(2m^2+6\right)\ge 0\iff -2m^2+8m+8\ge 0$ (vì $2m^2+6>0$ với m)

$\iff m^2-4m-4\le 0\iff 2-2\sqrt{2}\le m\le 2+2\sqrt{2}.$

Ta xét hai trường hợp sau:

* Trường hợp 1: Nếu $2-2\sqrt{2}\le m\le 2\sqrt{2}$ thì $\underset{\left[0;2\right]}{\max }f\left(x\right)=4m+7.$

Ta có: $\min \left(4m+7\right)=4\left(2-2\sqrt{2}\right)+7=15-8\sqrt{2}$ khi $m=2-2\sqrt{2}.$

* Trường hợp 2: Nếu $m\le 2-2\sqrt{2}$ hoặc $m\ge 2+2\sqrt{2}$ thì $\underset{\left[0;2\right]}{\max }f\left(x\right)=2m^2-4m-1.$

Xét hàm số $h\left(m\right)=2m^2-4m-1$ trên $D=\left(-\infty ;2-2\sqrt{2}\right]\cup \left[2+2\sqrt{2};+\infty \right).$

Ta có: $h\text{'}\left(m\right)=4m-4=0\iff 4m=4\iff m=1.$

Bảng biến thiên:

$\Rightarrow \underset{D}{\min }h\left(m\right)=\min \left\{h\left(2-2\sqrt{2}\right);h\left(2+2\sqrt{2}\right)\right\}=h\left(2-2\sqrt{2}\right)=15-8\sqrt{2}$ khi $m=2-2\sqrt{2}.$

Vậy $m_0=2-2\sqrt{2}\in \left[-1;0\right]$

Chọn C.