Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m < 30 để bất phương trình sau có nghiệm

Ta có

${\log }_3\frac{x^2+2}{4x^2+2x+m-2}\le x^2+2x+m-9$

$\iff {\log }_3\left(3x^2+6\right)-{\log }_3\left(4x^2+2x+m-2\right)\le \left(4x^2+2x+m-2\right)-\left(3x^2+6\right)\left(*\right)$

Xét hàm số $f\left(t\right)={\log }_{3}t+t,\left(t\ge 6\right)$

Ta có $f\text{'}\left(t\right)=\frac{1}{t\ln 3}+1>0,\forall t\ge 6\Rightarrow f\left(t\right)$ đồng biến với mọi $t\ge 6.$

Từ $\left(*\right)\Rightarrow 3x^2+6\le 4x^2+2x+m-2\iff m\ge -x^2-2x+8=g\left(x\right),\forall x\in ℝ\iff m\ge Max\underset{x\in ℝ}{g\left(x\right)}=9$

Vì m < 30 nên có tất cả 21 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.