Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 4a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Tam giác SAB có diện tích bằng . Côsin của góc tạo bởi đường thẳ...

Đáp án A

+) Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng  $\left(SBC\right)$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \widehat{\left(SD,\left(SBC\right)\right)}=\widehat{HSD}\Rightarrow \cos \widehat{\left(SD,\left(SBC\right)\right)}=\cos \widehat{HSD}=\frac{SH}{SD}\\ +)S_{SAB}=\frac{1}{2}SA.AB=\frac{1}{2}SA.4a=\frac{8a^2\sqrt{6}}{3}\Rightarrow SA=\frac{4a\sqrt{6}}{3}\\ +)V_{D.SBC}=\frac{1}{3}DH.S_{SBC}vàV_{D.SBC}=V_{S.BCD}=\frac{1}{3}.SA.S_{BCD}=\frac{1}{3}.\frac{4a\sqrt{6}}{3}.\frac{1}{2}.4a.4a=\frac{32a^3\sqrt{6}}{9}\\ \Rightarrow \frac{1}{3}DH.S_{SBC}=\frac{32a^3\sqrt{6}}{9}\Rightarrow DH=\frac{32a^3\sqrt{6}}{3S_{SBC}}\left(1\right)\end{array}$

+) Từ $\left\{\begin{array}{l}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp SB\Rightarrow S_{SBC}=\frac{1}{2}BC.SB=\frac{1}{2}.4a.SB=2a.SB$

$+)S{B}^2=S{A}^2+A{B}^2={\left(\frac{4a\sqrt{6}}{3}\right)}^2+16a^2=\frac{80a^2}{3}\Rightarrow SB=a\sqrt{\frac{80}{3}}\Rightarrow S_{SBC}=2a^2\sqrt{\frac{80}{3}}$

Thế vào (1) $\Rightarrow DH=\frac{32a^3\sqrt{6}}{3.2a^2\sqrt{\frac{80}{3}}}=\frac{4a\sqrt{10}}{5}$

$\begin{array}{l}+)S{D}^2=S{A}^2+A{D}^2={\left(\frac{4a\sqrt{6}}{3}\right)}^2+16a^2=\frac{80a^2}{3}\Rightarrow SD=a\sqrt{\frac{80}{3}}\\ \Rightarrow S{H}^2=S{D}^2-H{D}^2=\frac{80a^2}{3}-{\left(\frac{4a\sqrt{10}}{5}\right)}^2=\frac{304a^2}{15}\\ \Rightarrow SH=a\sqrt{\frac{304}{15}}\Rightarrow \cos \widehat{\left(SD;\left(SBC\right)\right)}=\frac{SH}{SD}=\frac{a\sqrt{\frac{304}{15}}}{a\sqrt{\frac{80}{3}}}=\frac{\sqrt{19}}{5}\end{array}$