Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) 2x - 2y + z = 5; và đường thẳng d x - 1/ 2 = y - 3/4 = z/5 . Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và tạo với (P) một góc nhỏ nhất. Khi đó, tọa độ ve...

Đáp án C

Giả sử mặt phẳng (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường thẳng $d\text{'}$ .

Gọi $A=d\cap \left(P\right)$, lấy $B\in d$ .

Kẻ $BH\perp \left(P\right),BC\perp d\text{'}\Rightarrow HC\perp d\text{'}\Rightarrow \left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=\widehat{BCH}=\alpha$

Để ${\alpha }_{\min }$ thì $\tan \alpha$ nhỏ nhất

Ta thấy $\tan \alpha =\frac{BH}{CH}\ge \frac{BH}{AH}\left(CH\le AH\right)$

Mà $\frac{BH}{AH}$  không đổi nên $\tan \alpha$ nhỏ nhất khi $\tan \alpha =\frac{BH}{AH}hay\alpha =\widehat{BAH}\left(C\equiv A\right)$

$\begin{array}{l}\iff d\perp d\text{'}\iff \overrightarrow{u_{d\text{'}}}=\left[\overrightarrow{u_d};\overrightarrow{n_p}\right]=\left(14;8;-12\right)\\ \left[\overrightarrow{u_d};\overrightarrow{u_{d\text{'}}}\right]=\left(-88;94;-40\right)\Rightarrow \overrightarrow{n_Q}=\left(44;-47;20\right)\end{array}$