Cho hàm số y = -x/ 2x + 1 có đồ thị là (C) và đường thẳng d y = x + m có phương trình (m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B s...

Đáp án A

Hoành độ giao điểm của (d) và (C) là nghiệm phương trình $\frac{-x}{2x+1}=x+m\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne -\frac{1}{2}\\ g\left(x\right)=2x^2+2\left(m+1\right)x+m=0\end{array}\right.$

(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt $\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta \text{'}>0\\ g\left(-\frac{1}{2}\right)\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2+1>\mathrm{0,}\forall m\\ -\frac{1}{2}\ne 0\end{array}\right.$

Gọi tọa độ giao điểm của (d) và (C) là $\left\{\begin{array}{l}A\left(x_1;x_1+m\right)\\ B\left(x_2;x_2+m\right)\end{array}\right.\stackrel{Vi-et}{\to }\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-m-1\\ x_1.x_2=\frac{m}{2}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left(2x_1+1\right).\left(2x_2+1\right)=-1$

Do $y\text{'}=-\frac{1}{{\left(2x+1\right)}^2}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{k}_A=-\frac{1}{{\left(2x_1+1\right)}^2}\\ k_B=-\frac{1}{{\left(2x_2+1\right)}^2}\end{array}\right.\Rightarrow k_A+k_B=-\left[\frac{1}{{\left(2x_1+1\right)}^2}+\frac{1}{{\left(2x_2+1\right)}^2}\right]$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có $\frac{1}{{\left(2x_1+1\right)}^2}+\frac{1}{{\left(2x_2+1\right)}^2}\ge \frac{2}{\left|\left(2x_1+1\right).\left(2x_2+1\right)\right|}=2\iff k_A+k_B\le -2$