Cho tứ diện đều SABC có cạnh bằng 1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm S và trọng tâm G của tam giác ABC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Thể tích nhỏ nhất Vmin của khối tứ diện SAMN...

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Gọi E là trung điểm của BC. Qua B, C lần lượt kẻ đường thẳng song song với MN và cắt đường thẳng AE tại P, Q.

Theo định lí Talet, ta có $\left\{\begin{array}{l}\frac{AB}{AM}=\frac{AP}{AG}\\ \frac{AC}{AN}=\frac{AQ}{AG}\end{array}\right.\Rightarrow \frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=\frac{AP}{AG}+\frac{AQ}{AG}=\frac{AP+AQ}{AG}$

Mặt khác $\Delta BPE=\Delta CQE\Rightarrow PE=QE\Rightarrow AP+AQ=\left(AE+PE\right)+\left(AE-QE\right)=2AE$

Do đó $\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=\frac{2AE}{AG}=2.\frac{3}{2}=3\Rightarrow \frac{1}{AM}+\frac{1}{AN}=3$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}AM=x\\ AN=y\end{array}\right.\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3$

Vì SABC là tứ diện đều  $\Rightarrow SG\perp \left(ABC\right)$ và $SG=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Do đó $V_{SAMN}=\frac{1}{3}{S}_{\Delta AMN}.SG=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}AM.AN\sin {60}^o\right).SG=\frac{\sqrt{2}}{12}AM.AN=\frac{\sqrt{2}}{12}xy$

Ta có $3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{2}{\sqrt{xy}}\iff \sqrt{xy}\ge \frac{2}{3}\iff xy\ge \frac{4}{9}\Rightarrow V_{\min }=\frac{\sqrt{2}}{27}$