Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y = x^3 - 3mx + 2 cắt đường tròn tâm I(1;1), bán kính bằng 1 tại 2 điểm phân biệt A, B s...

Đáp án A

Ta có $y^{\text{'}}=3x^2-3m$ nên $y^{\text{'}}=0\iff x^2=m.$

Đồ thị hàm số $y=x^3-3mx+2$ có hai điểm cực trị khi và chỉ khi $m>0.$

Ta có $y=x^3-3mx+2=\frac{1}{3}x\left(3x^2-3m\right)-2mx+2=\frac{1}{3}x.y^{\text{'}}-2mx+2.$

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^3-3mx+2$ có phương trình $\Delta :y=-2mx+2$

Ta có $S_{\Delta IAB}=\frac{1}{2}IA.IB.\sin \widehat{AIB}=\frac{1}{2}\sin \widehat{AIB}\le \frac{1}{2}$

Diện tích tam giác IAB lớn nhất bằng $\frac{1}{2}$  khi $\sin \widehat{AIB}=1\iff AI\perp BI.$

Gọi H là trung điểm AB ta có $IH=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{2}}{2}{d}_{\left(I;\Delta \right)}$

Mà $d_{\left(I;\Delta \right)}=\frac{\left|2m+1-2\right|}{\sqrt{4m^2+1}}$

$\begin{array}{l}{d}_{\left(I;\Delta \right)}=\frac{\left|2m+1-2\right|}{\sqrt{4m^2+1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\iff \left|4m-2\right|=\sqrt{2\left(4m^2+1\right)}\\ \iff 8m^2-16m+2=0\iff m=\frac{2\pm \sqrt{3}}{2}.\end{array}$