Cho mặt cầu (S) x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4z +1 = 0 và đường thẳng d x = 2 - t y = t z = m + t. Tổng các giá trị của m để d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho các mặt phẳng tiế...

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Để d cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt A, B thì phương trình ${\left(2-t\right)}^2+t^2+{\left(m+t\right)}^2-2\left(2-t\right)+4\left(m+t\right)+1=0\left(1\right)$ có 2 nghiệm phân biệt.

Ta có $\left(1\right)\iff 3t^2+2\left(m+1\right)t+m^2+4m+1=0$

(1) có 2 nghiệm phân biệt $\iff {\Delta }^{\text{'}}>0\iff {\left(m+1\right)}^2-3m^2-12m-3>0\iff m^2+5m+1<0$

Pt có 2 nghiệm phân biệt, áp dụng Vi-ét $\left\{\begin{array}{l}{t}_1{t}_2=\frac{m^2+4m+1}{3}\\ t_1+t_2=\frac{-2}{3}\left(m+1\right)\end{array}\right.$

Khi đó, $\overrightarrow{IA}=\left(1-t_1;t_1;m+2+t_1\right),\overrightarrow{IB}=\left(1-t_2;t_2;m+2+t_2\right)$

Vậy $\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB}=\left(1-t_1\right)\left(1-t_2\right)+t_1{t}_2+\left(m+2+t_1\right)\left(m+2+t_2\right)=0$

$\begin{array}{l}\iff 3t_1{t}_2+\left(m+1\right)\left(t_1+t_2\right)+{\left(m+2\right)}^2+1=0\\ \iff m^2+4m+1-\frac{2}{3}{\left(m+1\right)}^2+{\left(m+2\right)}^2+1=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}m=-1\\ m=-4\end{array}\right.\left(TM\right).\end{array}$