Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(3;2;1). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C không trùng với gốc tọa độ sao cho M...

Đáp án A

Gọi  $A\left(a;0;0\right);B\left(0;b;0\right);C\left(0;0;c\right)$

Phương trình mặt phẳng (P) có dạng $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\left(abc\ne 0\right)$

Vì (P) qua M nên $\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}=1\left(1\right)$

Ta có $\overrightarrow{MA}=\left(a-3;-2;-1\right);\overrightarrow{MB}=\left(-3;b-2;-1\right);$$\overrightarrow{BC}=\left(0;-b;c\right);\overrightarrow{AC}=\left(-a;0;c\right).$

Vì M là trục tâm của tam giác ABC nên $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{AC}=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2b=c\\ 3a=c\end{array}\right.\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $a=\frac{14}{3};b=\frac{14}{2};c=14.$  Khi đó phương trình $\left(P\right):3x+2y+z-14=0$

Vậy mặt phẳng song song với (P) là $3x+2y+z+14=0.$