Cho parabol (P) y = -x^2 + 2x có đỉnh S và A là giao điểm khác O của (P) và trục hoành. M là điểm di động trên cung nhỏ SA, tiếp tuyến của (P) tại M cắt Ox, Oy tại E, F. Khi đó, tổ...

Đáp án D

Ta có $S\left(1;1\right),A\left(2;0\right)$

$y^{\text{'}}=-2x+2$

Tiếp tuyến tại $M\left(m;2m-m^2\right)\mathrm{,1}\le m\le 2$  có phương trình $y=\left(2-2m\right)\left(x-m\right)+2m-m^2\iff y=\left(2-2m\right)x+m^2$

+, Với $m=1$ ta có $M\left(1;1\right)\equiv S\Rightarrow$  Không tồn tại điểm $F\Rightarrow m=1$ không thỏa mãn.

+, Với $1<m\le 2$ ta có $E\left(0;m^2\right);F\left(\frac{m^2}{2m-2};0\right)$

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và trục hoành $S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|-x^2+2x\right|dx=\frac{4}{3}.$

Ta có $S_{OEF}=\frac{1}{2}\left|\frac{m^4}{2m-2}\right|=\frac{m^4}{4\left(m-1\right)}$

Ta thấy $S_{MOF}+S_{MAE}=S_{OEF}-S,\left(S_{MOF}+S_{MAE}\right)\min \iff \left(S_{OEF}\right)\min$

Ta có $\underset{m\in \left(1;2\right]}{min}\frac{m^4}{4\left(m-1\right)}=\frac{64}{27}\iff m=\frac{4}{3}$

$\Rightarrow \left(S_{MOF}+S_{MAE}\right)\min =\frac{64}{27}-\frac{4}{3}=\frac{28}{27}$ khi $m=\frac{4}{3}.$