Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC .E là điểm đối xứng với B qua D . Mặt phẳng MNE chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa...

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Thể tích khối tứ diện $ABCD$ cạnh $a$  là $V_{ABCD}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$ .

Gọi $P=EN\cap CD$ và $Q=EM\cap AD$

 $\Rightarrow P,Q$ lần lượt là trọng tâm của $\Delta BCE$ và $\Delta ABE$ .

Thể tích khối đa điện chứa đỉnh A là $V=V_{ABCD}-V_{PQD.NMB}=V_{ABCD}-\left(V_{M.BNE}-V_{Q.PDE}\right)$.

Gọi S là diện tích tam giác $BCD\Rightarrow S_{\Delta CDE}=S_{\Delta BNE}=S$ .

$S_{\Delta PDE}=\frac{1}{3}.S_{\Delta CDE}=\frac{S}{3}$.

Gọi $h$ là chiều cao của tứ diện $ABCD$

$\Rightarrow d\left[M,\left(BCD\right)\right]=\frac{h}{2};d\left[Q,\left(BCD\right)\right]=\frac{h}{3}$

$\Rightarrow V_{M.BNE}=\frac{1}{2}{S}_{\Delta BNE}.d\left[M,\left(BCD\right)\right]=\frac{S.h}{6};V_{Q.PDE}=\frac{1}{3}{S}_{\Delta PDE}.d\left[Q,\left(BCD\right)\right]=\frac{S.h}{27}$.

Vậy thể tích khối đa diện chứa đỉnh A là

$SV=\frac{1}{3}Sh-\left(\frac{Sh}{6}-\frac{Sh}{27}\right)=\frac{11}{18}.\frac{1}{3}Sh=\frac{11}{18}.\frac{a^3\sqrt{2}}{12}=\frac{11\sqrt{2}{a}^3}{216}$.