Trong không gian với hệ trục tọa độ, cho mặt phẳng (P) 3x - 3y + 2z + 37 = 0 và các điểm A(4;1;5) B(3;0;1) C(-1;2;0) . Biết M thuộc (P) sao cho biểu thức S = vecto MA nhân vecto MB...

Đáp án A

Gọi $M\left(x;y;z\right)$ .

Do $M\in \left(P\right)$ nên $3x-3y+2z+37=0$ .

Có $\overrightarrow{MA}=\left(4-x;1-y;5-z\right),\overrightarrow{MB}=\left(3-x;-y;1-z\right),\overrightarrow{MC}=\left(-1-x;2-y;-z\right)$ .

Khi đó $S=3\left[{\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2-5\right]$ .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: $\left[3\left(x-2\right)-3\left(y-1\right)+2{\left(z-2\right)}^2\right]\le \left(3^2+3^2+2^2\right)\left[{\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2\right]$

$\iff {44}^2\le 22\left(\frac{S}{3}+5\right)\iff S\ge 249$

Dấu “=” xảy ra khi $\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{-3}=\frac{z-2}{2}\iff \left\{\begin{array}{l}x=-4\\ y=7\\ z=-2\end{array}\right.$ .