Cho 0 < x khác 1, 0 < a khác 1 và M = 1/logax + 1/loga3x + 1/loga5x +...+ 1/loga2019x

${\log }_{\mathrm{a}}({\mathrm{y}}_1.{\mathrm{y}}_2.....{\mathrm{y}}_{\mathrm{n}})={\log }_{\mathrm{a}}{\mathrm{y}}_1+{\log }_{\mathrm{a}}{\mathrm{y}}_2+...+{\log }_{\mathrm{a}}{\mathrm{y}}_{\mathrm{n}}$ (với $\mathrm{a},{\mathrm{y}}_1,{\mathrm{y}}_2,...,{\mathrm{y}}_{\mathrm{n}}>0;\mathrm{a}\ne 1$)

Công thức: $1+3+5+...+(2\mathrm{n}-1)={\mathrm{n}}^2.$ 

Chứng minh dựa vào tính tổng của một CSC với ${\mathrm{u}}_1=1,{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=2\mathrm{n}-1,\mathrm{d}=2.$ 

Khi đó tổng $\mathrm{S}=\frac{\mathrm{n}}{2}({\mathrm{u}}_1+{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}})=\frac{\mathrm{n}}{2}(1+2\mathrm{n}-1)={\mathrm{n}}^2$