Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với mặt đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD là a^3/3. Tính góc gama giữa đường thẳng SB và...

Đáp án C

Hai mặt phẳng $\left(SAB\right)$ và $\left(SAD\right)$ cắt nhau theo giao tuyến SA và cùng vuông góc với mặt phẳng $\left(ABCD\right)$  nên $SA\perp \left(ABCD\right).$  

Do đó $SA=\frac{3V_{S.ABCD}}{S_{ABC\text{D}}}=a.$

Tam giác SAD vuông tại A nên $SD=\sqrt{S{A}^2+A{D}^2}=a\sqrt{2}.$

Ta có $CD\perp AD,CD\perp SA\Rightarrow CD\perp \left(SAD\right)\Rightarrow CD\perp SD.$

Vậy diện tích tam giác SCD là: $S_{SCD}=\frac{1}{2}SD.CD=\frac{a^2\sqrt{2}}{2}.$

Gọi I là hình chiếu của B lên mặt phẳng $\left(SCD\right)$ khi đó $\widehat{\left(SB,\left(SCD\right)\right)}=\widehat{\left(SB,SI\right)}=\widehat{BSI}.$

Mặt khác, $BI=\frac{3V_{B.SCD}}{S_{SCD}}=\frac{3V_{S.ABCD}}{2S_{SCD}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Tam giác SAB vuông tại A nên $SB=\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}=a\sqrt{2}.$

Tam giác SIB vuông tại I nên $\sin \widehat{BSI}=\frac{BI}{SB}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{BSI}={30}^0.$

Vậy $\widehat{\left(SB,\left(SCD\right)\right)}=30°.$