Đường thẳng d y = x + m cắt đồ thị hàm số y = x - 1/x + 1 tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho OA^2 + OB^2 = 2,O là gốc tọa độ. Khi đó m thuộc khoảng nào dưới đây

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Để $d:y=x+m$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{x+1}$ tại 2 đỉểm phần biệt A, B thì phương trình  $x+m=\frac{x-1}{x+1}$ phải có 2 nghiệm phân biệt.

 $\iff x^2+mx+m+1=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2\ne -1$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta =m^2-4m-4>0\\ {\left(-1\right)}^2+m\left(-1\right)+m+1\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m<2-2\sqrt{2},m>2+2\sqrt{2}\\ 2\ne 0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m>2+2\sqrt{2}\\ m<2-2\sqrt{2}\end{array}\right.\left(*\right)$

Gọi $A\left(x_1;x_1+m\right),B\left(x_2;x_2+m\right),$  ta có $O{A}^2+O{B}^2=2$ $\iff {\left(x_1\right)}^2+{\left(x_1+m\right)}^2+{x_2}^2+{\left(x_2+m\right)}^2=2$

$\begin{array}{l}\begin{array}{l}\iff x_1^2+x_2^2+m\left(x_1+x_2\right)+m^2=1\\ \iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_x{x}_2+m\left(x_x+x_2\right)+m^2=1\end{array}\\ \iff {\left(-m\right)}^2-2\left(m+1\right)+m\left(-m\right)+m^2=1\\ \iff m^2-2m-3=0\iff \left[\begin{array}{l}m=-1\\ m=3\end{array}\right.\end{array}$

Kết hợp với điều kiện (*) ta chọn $m=-1.$