Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình logarit cơ số 2 của (căn bậc 2 của 2x^2 + mx + 1/x + 2) + căn bậc 2 của 2x^2 + mx + 1 = x + 2 có hai nghiệm thực phâ...

Đáp án C

Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}x+2>0\\ \begin{array}{l}2x^2+mx+1>0\end{array}\end{array}\right.$

Phương trình ban đầu tương đương

 $\begin{array}{l}{\log }_2\left(\frac{\sqrt{2x^2+mx+1}}{x+2}\right)+\sqrt{2x^2+mx+1}=x+2\\ \iff {\log }_2\sqrt{2x^2+mx+1}+\sqrt{2x^2+mx+1}={\log }_2\left(x+2\right)+x+2\end{array}$

$\iff f\left(\sqrt{2x^2+mx+1}\right)=f\left(x+2\right)\left(1\right)$

Xét hàm số $f\left(t\right)={\log }_{2}t+t$  với $t\in \left(0;+\infty \right)$  có $f\text{'}\left(t\right)=\frac{1}{t\ln 2}+1>\mathrm{0,}\forall t\in \left(0;+\infty \right)$

 $\Rightarrow f\left(t\right)$ đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$ nên (1) $\iff \sqrt{2x^2+mx+1}=x+2$

Từ đó $\left\{\begin{array}{l}x>-2\\ 2x^2+mx+1={\left(x+2\right)}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>-2\\ x^2+\left(m-4\right)x-3=0\left(2\right)\end{array}\right.$

Để có hai nghiệm thực phân biệt thì (2) có hai nghiêm phân biệt  $x_1,x_2$ lớn $-2$

 $\iff \left\{\begin{array}{l}m<8\\ m<\frac{9}{2}\end{array}\right.\iff m<\frac{9}{2}$ mà $m\in {\mathbb{N}}^{*}\Rightarrow m\in \left\{1;2;3;4\right\}$