Cho số phức z thỏa mãn môdun của z = 1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = môdun của z + 1 + môdun của z^2 - z + 1. Tính giá trị M. m

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Gọi $z=x+yi;\left(x\in ℝ;y\in ℝ\right).$  Ta có: $\left|z\right|=1\iff z.\overline{z}=1.$

Đặt $t=\left|z+1\right|,$  ta có $0=\left|z\right|-1\le \left|z+1\right|\le \left|z\right|+1=2\Rightarrow t\in \left[0;2\right]$

Ta có $t^2=\left(1+z\right)\left(1+\overline{z}\right)=1+z.\overline{z}+z+\overline{z}=2+2x\Rightarrow x=\frac{t^2-2}{2}$

Suy ra $\left|z^2-z+1\right|=\left|z^2-z+z.\overline{z}\right|=\left|z\right|\left|z-1+\overline{z}\right|=\sqrt{{\left(2\text{x}-1\right)}^2}=\left|2\text{x}-1\right|=\left|t^2-3\right|$

Xét hàm số $f\left(t\right)=t+\left|t^2-3\right|,t\in \left[0;2\right]$

Dùng đạo hàm tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm $f\left(t\right),$suy ra $\max f\left(t\right)=\frac{13}{4}$ khi $t=\frac{1}{2};\min f\left(t\right)=\sqrt{3}$  khi $t=\sqrt{3}\Rightarrow M.n=\frac{13\sqrt{3}}{4}$