Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(7;2;3), B(1;4;3), C(1;2;6), D(1;2;3) và điểm M tùy ý. Tính độ dài đoạn OM khi biểu thức P = MA + MB + MC + căn bậc 2 của 3 nhân...

Đáp án C

Giả sử $M\left(x+1;y+2;z+3\right).$

Ta có $MA=\sqrt{{\left(x-6\right)}^2+y^2+z^2}\ge \left|x-6\right|\ge 6-x.$

$MB=\sqrt{x^2+{\left(y-2\right)}^2+z^2}\ge \left|y-2\right|\ge 2-y$

$MC=\sqrt{x^2+y^2+{\left(z-3\right)}^2}\ge \left|z-3\right|\ge 3-z$

$\sqrt{3}MD=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\ge \sqrt{{\left(x+y+z\right)}^2}\ge x+y+z$

Do đó  $P=MA+MB+MC+\sqrt{3}MD\ge 6-x+2-y+3-z+x+y+z=11$

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 11 khi và chỉ khi  $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{{\left(x-6\right)}^2+y^2+z^2}=6-x\\ \sqrt{x^2+{\left(y-2\right)}^2+z^2}=2-y\\ \sqrt{x^2+y^2+{\left(z-3\right)}^2}=3-z\\ \sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=z+y+z\end{array}\right.$

   $\iff \left\{\begin{array}{l}6-x\ge 0\\ 2-y\ge 0\\ 3-z\ge 0\\ x+y+z\ge 0\\ x=y=z=0\end{array}\right.\iff x=y=z=0\Rightarrow M\left(1;2;3\right)$ khi đó  $OM=\sqrt{14}$