Cho f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên [-a;a] . Mệnh đề nào dưới đây là đúng

Đáp án B

Ta có $\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{-a}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{0}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx$

Xét tích phân $\underset{-a}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)dx$ . Đặt $t=-x\Rightarrow dx=-dt$ . Đổi cận $\left\{\begin{array}{l}x=-a\Rightarrow t=a\\ x=0\Rightarrow t=0\end{array}\right.$

Do $f\left(x\right)$ là hàm số lẻ và liên tục trên $\left[-a;a\right]$  nên $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)\Rightarrow f\left(-t\right)=-f\left(t\right)$

Khi đó $\underset{-a}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)dx=-\underset{a}{\overset{0}{\int }}f\left(-t\right)dt=-\underset{a}{\overset{0}{\int }}\left[-f\left(t\right)\right]dt=\underset{a}{\overset{0}{\int }}f\left(t\right)dt=-\underset{0}{\overset{a}{\int }}f\left(t\right)dt=-\underset{0}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx$

Vậy $\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{-a}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{0}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx=-\underset{0}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{0}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx=0$