Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1; 17].

Ta có: $n\left(\Omega \right)={17}^3=4913.$

Trong các số tự nhiên thuộc [1; 17] có 5 số chia hết cho 3 là $\left\{3;6;9;12;15\right\},$ có 6 số chia 3 dư 1 là $\left\{1;4;7;19;13;16\right\}$ có 6 số chia 3 dư 2 là $\left\{2;5;8;11;14;17\right\}.$

Để 3 số tổng viết ra chia hết cho 3 xảy ra các trường hợp sau:

TH1: Cả 3 số viết ra đều chia hết cho 3 $\Rightarrow 5^3$ cách viết.

TH2: Cả 3 số viết ra đều choc ho 3 dư 1 $\Rightarrow 6^3$ cách viết.

TH3: Cả 3 số viết ra đều chia cho 3 dư 2 $\Rightarrow 6^3$ cách viết.

TH4: Trong 3 số viết ra có 1 số chia hết cho 3, có 1 số chia cho 3 dư 1, có 1 số chia cho 3 dư 2 nên có $\mathrm{5.6.6.3}!$ cách viết.

Vậy xác suất cần tìm là $P=\frac{5^3+6^3+6^3+\mathrm{5.6.6.3}!}{4913}=\frac{1637}{4913}$.

Chọn D.