Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 1/3x^3 - (m - 1)x^2 - 4mx

Ta có: $y\text{'}=x^2-2\left(m-1\right)x-4m.$

Yêu cầu bài toán $\iff y\text{'}\ge 0,\forall x\in \left[1;4\right]\iff x^2-2\left(m-1\right)x-4m\ge 0,\forall x\in \left[1;4\right]$

$\iff 2m\left(x+2\right)\le x^2+2x,\forall x\in \left[1;4\right]\iff 2m\left(x+2\right)\le x\left(x+2\right),\forall x\in \left[1;4\right]\iff m\le \frac{x}{2},\forall x\in \left[1;4\right]$

$\iff m\le \underset{\left[1;4\right]}{\min }\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}.$ Vậy $m\le \frac{1}{2}.$

Chọn D.