Xét hàm số f(x) = |x^2 + ax + b| với a, b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất

Theo bài ra, ta có: $\left\{\begin{array}{l}M\ge f\left(-1\right)\\ M\ge f\left(3\right)\\ M\ge f\left(1\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}M\ge \left|-a+b+1\right|\\ M\ge \left|3a+b+9\right|\\ 2M\ge 2\left|a+b+1\right|=\left|-2a-2b-2\right|\end{array}\right.$

Suy ra: $4M\ge \left|-a+b+1\right|+\left|3a+b+9\right|+\left|-2a-2b-2\right|\ge \left|-a+b+1+3a+b+9-2a-2b-2\right|$

$\iff 4M\ge 8\iff M\ge 2$.

Điều kiện cần để M = 2 là $\left|-a+b+1\right|=\left|3a+b+9\right|=\left|-a-b-1\right|=2$ và $-a+b+1,3a+b+9,-a-b-1$ cùng dấu 

$\iff \left[\begin{array}{l}-a+b+1=3a+b+9=-a-b-1=2\\ -a+b+1=3a+b+9=-a-b-1=-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=-1\end{array}\right..$

Ngược lại, với $\left\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=-1\end{array}\right.$ thì $f\left(x\right)=\left|x^2-2x-1\right|.$

Xét hàm số $g\left(x\right)=x^2-2x-1$ trên đoạn [-1; 3]

Ta có: $g\text{'}\left(x\right)=2x-2;g\text{'}\left(x\right)=0\iff x=1\in \left[-1;3\right].$

Do M là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [-1; 3] nên $M=\max \left\{\left|g\left(-1\right)\right|;\left|g\left(3\right)\right|;\left|g\left(1\right)\right|\right\}=2.$

Từ đó suy ra với $\left\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=-1\end{array}\right.$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy $a+2b=-4.$

Chọn C.