Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng 4. Hình chiếu vuông góc của A' trên mp ABC trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Gọi M là trung điể...

Đáp án A

Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC

 $\Rightarrow G$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có $A^{\text{'}}G\perp \left(ABC\right)$ .

Dựng hình chiếu H của $B^{\text{'}}$  trên mặt phẳng $\left(ABC\right)\Rightarrow$  Tứ giác ABHG là hình bình hành và $AG=BH=\frac{4\sqrt{3}}{3},BH\perp BC$ .

Xét tam giác BHC vuông tại B, ta có: $\tan \widehat{BCH}=\frac{BH}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \widehat{BCH}=30°$

Do đó $\widehat{ACH}=\widehat{ACB}+\widehat{BCH}=90°$ hay $AC\perp HC$ .

Mà $AC\perp B^{\text{'}}H$ . Do đó: $AC\perp B^{\text{'}}C$ tại C hay $MC\perp B^{\text{'}}C$ tại C (1)

Ta lại có $MC\perp BM$ tại M (2)

Từ (1),(2) $\Rightarrow MC$ là đoạn vuông góc chung của BM và $B^{\text{'}}C$ .

Do đó $d\left(BM,B^{\text{'}}C\right)=MC=2$