Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình m + căn bậc 2 của ( m + 1 + căn bậc 2 của (1 + sinx)) = sinx có nghiệm là [a,b] . Giá trị của a + b bằng

Đáp án D

Phương trình $\iff \left(m+1+\sqrt{1+\sin x}\right)+\sqrt{m+1+\sqrt{1+\sin x}}=\left(1+\sin x\right)+\sqrt{1+\sin x}$

Xét hàm số $f\left(t\right)=t^2+t$  với $t\in \left[0;+\infty \right)$ .

Hàm này đồng biến trên  $\left[0;+\infty \right)$ nên suy ra $f\left(\sqrt{m+1+\sqrt{1+\sin x}}\right)=f\left(\sqrt{1+\sin x}\right)$

$\iff \sqrt{m+1+\sqrt{1+\sin x}}=\sqrt{1+\sin x}\iff m+1+\sqrt{1+\sin x}=1+\sin x\iff m=\sin x-\sqrt{1+\sin x}$

Đặt $u=\sqrt{1+\sin x}$ , vì $\sin x\in \left[-1;1\right]\Leftarrow u\in \left[0;\sqrt{2}\right]$

Phương trình trở thành: $m=u^2-u-1$

 Xét hàm $g\left(u\right)=u^2-u-1$  với $u\in \left[0;\sqrt{2}\right]$

Ta có $g^{\text{'}}\left(u\right)=2u-1;g^{\text{'}}\left(u\right)=0\iff u=\frac{1}{2}$

 Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm $\iff -\frac{5}{4}\le m\le 1-\sqrt{2}$$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=-\frac{5}{4}\\ b=1-\sqrt{2}\end{array}\right.\Rightarrow a+b=-\frac{1}{4}-\sqrt{2}$