Trong không gian Oxyz, cho A(0;1;2), B(0;1;0), C(3;1;1) và mặt phẳng (Q) x + y + z - 5 = 0 .Xét điểm M thay đổi thuộc (Q). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA^2 + MB^2 + MC^2 bằng

Đáp án A

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$  và $G\left(1;1;1\right)$

Khi đó ta có: $M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2={\overrightarrow{MA}}^2+{\overrightarrow{MB}}^2+{\overrightarrow{MC}}^2$

$={\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)}^2$

$=3{\overrightarrow{MG}}^2+{\overrightarrow{GA}}^2+{\overrightarrow{GB}}^2+{\overrightarrow{GC}}^2+2\overrightarrow{MG}\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=3{\overrightarrow{MG}}^2+{\overrightarrow{GA}}^2+{\overrightarrow{GB}}^2+{\overrightarrow{GC}}^2$

$=3M{G}^2+G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2$

Do các điểm A, B, C, G cố định nên $G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2$  không đổi.

Suy ra $M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2$  \nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất. Do đó M là hình chiếu vuông góc của G lên $\left(Q\right)\Rightarrow MG=d\left(G;\left(Q\right)\right)=\frac{2}{\sqrt{3}}\Rightarrow 3M{G}^2=4$

Lại có: $G{A}^2=2;G{B}^2=2;G{C}^2=4$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2$  bằng 12.