Xét các số phức z1 = x - 2 + (y + 2)i, z2 = x + yi (x,y thuộc R, môdun của z1 = 1) . Phần ảo của số phức z2 có môđun lớn nhất bằng

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Gọi $M\left(x;y\right)$  là điểm biểu diễn cho số phức $z_2$

Ta có: $\left|z_1\right|=1\iff \left|x-2+\left(y+2\right)i\right|=1\iff {\left(x-2\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=1\left(T\right)$.

Đường tròn $\left(T\right)$ có tâm $I\left(2;-2\right)$ , bán kính $R=1$ , có $OI=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+2^2}=2\sqrt{2}$

Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức $z_2$  là đường tròn $\left(C\right)$  có tâm O, bán kính OM.

Bài yêu cầu: Tìm số phức $z_2$  có: $\left|z_2\right|=x^2+y^2$  lớn nhất.

Bài toán trở thành: Tìm vị trí điểm $M\left(x;y\right)\in \left(C\right)$  sao cho $O{M}_{\max }\iff OM=OI+R=2\sqrt{2}+1$

$\frac{\left|\overrightarrow{OM}\right|}{\left|\overrightarrow{OI}\right|}=\frac{2\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}=1+\frac{1}{2\sqrt{2}}\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\left(1+\frac{1}{2\sqrt{2}}\right).\overrightarrow{OI}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_M=\left(1+\frac{1}{2\sqrt{2}}\right).x_1\\ y_M=\left(1+\frac{1}{2\sqrt{2}}\right).y_1\end{array}\right.$

$\Rightarrow y_M=\left(1+\frac{1}{2\sqrt{2}}\right).\left(-2\right)=-2-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\left(2+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$