Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bàng a . Hình chiếu vuông góc của A' xuống mặt phẳng ABC là trung điểm của AB . Mặt bên AA'C'C tạo với đáy một góc bằng...

Câu hỏi :

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $a$. Hình chiếu vuông góc của $A^{\text{'}}$ xuống mặt phẳng $\left(ABC\right)$ là trung điểm của $AB$. Mặt bên $\left(A{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}C\right)$ tạo với đáy một góc bằng $\alpha$. Biết thể tích khối lăng trụ bằng $\frac{3a^3}{16}$ , khi đó $\alpha$ bằng

* Đáp án

B

* Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Gọi $H$ là trung điểm $AB\Rightarrow A^{\text{'}}H\perp \left(ABC\right)$ .

Vẽ $HK\perp AC$  tại $K\Rightarrow \widehat{A^{\text{'}}KH}=\alpha$ .

$AH=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2};KH=AH.\sin 60°=\frac{a\sqrt{3}}{4}\Rightarrow A^{\text{'}}H=HK\tan \alpha$

$V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=A^{\text{'}}H.S_{ABC}=\frac{3a^3}{16}\Rightarrow \tan \alpha =1\iff \alpha =45°$.