Cho số phức z = i - m/1 - m(m - 2i),m thuộc R . Xác định giá trị nhỏ nhất của số thực k sao cho tồn tại m để môdun của z - 1 nhỏ hơn hoặc bằng k

Đáp án A.

Ta có $z=\frac{i-m}{-i^2+2mi-m^2}=\frac{-1}{i-m}\Rightarrow z-1=\frac{1-m+i}{m-i}$

$\left|z-1\right|=\frac{\left|1-m+i\right|}{\left|m-i\right|}=\sqrt{\frac{m^2-2m+2}{m^2+1}}$

$\Rightarrow \left|z-1\right|\le k\iff \left\{\begin{array}{l}k\ge 0\\ \frac{m^2-2m+2}{m^2+1}\le k^2\end{array}\right.$

Xét hàm số $f\left(m\right)=\frac{m^2-2m+2}{m^2+1}$ .

Ta có $f^{\text{'}}\left(m\right)=\frac{2\left(m^2-m-1\right)}{{\left(m^2+1\right)}^2}\Rightarrow f^{\text{'}}\left(m\right)=0\iff m=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

Lập bảng biến thiên ta có $\min f\left(m\right)=f\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ .

 $\Rightarrow$Yêu cầu bài toán $\iff k^2\ge \frac{3-\sqrt{5}}{2}\iff k\ge \sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ .

Vậy $k=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ là giá trị phải tìm.