Cho hàm số y = -x^3 + mx^2 + mx +1 có đồ thị (C) (với m là tham số). Biết rằng tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất của (C) đi qua gốc tọa độ O. Khẳng định nào sau đây đúng

Đáp án D

Ta có $y^{\text{'}}\left(x_0\right)=-3x_0^2+2m{x}_0+m=-3{\left(x_0-\frac{m}{3}\right)}^2+\frac{m^2}{3}+m\le \frac{m^2}{3}+m.$

Dấu “=” đạt tại $x_0=\frac{m}{3}.$  Thay vào hàm số ta được $y_0=\frac{2m^3}{27}+\frac{m^2}{3}+1.$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $M\left(x_0;y_0\right)$  là $d:y=\left(\frac{m^2}{3}+m\right)\left(x-\frac{m}{3}\right)+\frac{2m^3}{27}+\frac{m^2}{3}+1.$