Cho hàm số f(x) = 2^x - 2^-x. Số giá trị nguyên của m để bất phương trình f( trị tuyệt đối của ( x^3 - 2x^2 + 3x -m)) + f(2x - 2x^2 -5) nhỏ hơn 0) có nghiệm đúng với mọi x thuộc (0...

Có  $f\left(-x\right)=2^{-x}-2^x=-\left(2^x-2^{-x}\right)=-f\left(x\right)$

 $f^{\text{'}}\left(x\right)=2^x\ln 2+2^{-x}\ln 2>\mathrm{0,}\forall x\Rightarrow f\left(x\right)$ là hàm đồng biến trên $ℝ$

Do đó $f\left(\left|x^3-2x^2+3x-m\right|\right)+f\left(2x-2x^2-5\right)<\mathrm{0,}\forall x\in \left(0;1\right)$

$\begin{array}{l}\iff f\left(\left|x^3-2x^2+3x-m\right|\right)<-f\left(2x-2x^2-5\right)=f\left(2x^2-2x+5\right),\forall x\in \left(0;1\right)\\ \iff \left|x^3-2x^2+3x-m\right|<2x^2-2x+\mathrm{5,}\forall x\in \left(0;1\right)\\ \iff -\left(2x^2-2x+5\right)<x^3-2x^2+3x-m<2x^2-2x+\mathrm{5,}\forall x\in \left(0;1\right)\\ \iff \left\{\begin{array}{l}m>x^3-4x^2+5x-\mathrm{5,}\forall x\in \left(0;1\right)\\ m<x^3+x+\mathrm{5,}\forall x\in \left(0;1\right)\end{array}\right.\end{array}$

•  Xét $g\left(x\right)=x^3-4x^2+5x-\mathrm{5,}\forall x\in \left(0;1\right)$

$g^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2-8x+5;g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=\frac{5}{3}\end{array}\right.$

• Xét $h\left(x\right)=x^3+x+\mathrm{5,}\forall x\in \left(0;1\right)$

$h^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2+1>\mathrm{0,}\forall x\in \left(0;1\right)$

Vậy $-3\le m\le 5.$