Cho x, y là các số thực và x dương thỏa mãn logarit cơ số 2 của (1 - y^2/x) = 3(x + y^2 -1). Biết giá trị lớn nhất của biểu thức P = 1 - y^2 + căn bậc 2 của (9x^2 + 1)/ 8x^2 + y^2...

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ y\in (-1;1)\end{array}\right.$ . Khi đó điều kiện bài toán tương đương: ${\log }_2(1-y^2)+3(1-y^2)={\log }_{2}x+3\text{x}\iff f(1-y^2)=f\left(x\right)$ (*) với $f\left(t\right)={\log }_{2}t+t$  đồng biến trên $(0;+\infty )$ .

Khi đó (*) $\iff 1-y^2=x$ , suy ra:  $P=\frac{x+\sqrt{9{\text{x}}^2+1}}{8{\text{x}}^2+1}=\frac{1}{\sqrt{9{\text{x}}^2+1}-x}=\frac{1}{g\left(x\right)}$ với $x>0$ .

Xét hàm số $g\left(x\right)=\sqrt{9{\text{x}}^2+1}-x$  với $\text{x}>0$ .

Ta có: $g^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{9\text{x}}{\sqrt{9{\text{x}}^2+1}}-1=0\iff 9x^2+1=81{\text{x}}^2\stackrel{x>0}{\to }x=\frac{\sqrt{2}}{12}$ .

Lập bảng biến thiên, suy ra: $\underset{(0;+\infty )}{\min }g\left(x\right)=g\left(\frac{\sqrt{2}}{12}\right)=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Khi đó $P_{\max }=\frac{1}{\underset{(0;+\infty )}{\min }g\left(x\right)}=\frac{3}{2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2^2}=\frac{a\sqrt{b}}{c^2}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=c=2\end{array}\right.\Rightarrow T=7$ .