Cho đa giác có 20 đỉnh. Chọn 4 đỉnh bất kì của đa giác. Tính xác suất để 4 đỉnh được chọn tạo thành một tứ giác có đúng 2 cạnh chung với đa giác

Số cách chọn 4 đỉnh từ 20 đỉnh là: $n\left(\Omega \right)=C_{20}^4$ .

Gọi A là biến cố 4 đỉnh được chọn tạo thành tứ giác có đúng 2 cạnh chung với đa giác.

Số tứ giác có 2 cạnh chung với đa giác n đỉnh có công thức là: $\frac{3n(n-5)}{2}$ .

Trường hợp 1: Tứ giác có hai cạnh kề trùng với cạnh của đa giác. Vì hai cạnh kề cắt nhau tại 1 đỉnh, mà đa giác có n đỉnh, nên có n cách chọn hai cạnh kề tùng với cạnh của đa giác.

Chọn 1 đỉnh còn lại trong $n-5$ đỉnh (bỏ 3 đỉnh tạo nên hai cạnh kề và 2 đỉnh hai bên). Do đó trường hợp này có $n(n-5)$  tứ giác.

Trường hợp 2: Tứ giác có hai cạnh đối thuộc cạnh của đa giác. Chọn 1 cạnh trong n cạnh của đa giác nên có n cách.

Trong $n-4$ đỉnh còn lại (bỏ 2 đỉnh tạo nên cạnh đã chọn ở trên và 2 đỉnh liền kề cạnh đã chọn sẽ tạo nên $n-5$ cạnh.

Chọn 1 cạnh trong $n-5$  cạnh đó nên có $n-5$  cách.

Song trường hợp này số tứ giác ta đếm 2 lần, do đó trường hợp này có $\frac{n(n-5)}{2}$ tứ giác.

Vậy có tất cả: $n(n-5)+\frac{n(n-5)}{2}=\frac{3n(n-5)}{2}$  tứ giác.

Áp dụng vào bài với $n=20$, suy ra $n\left(A\right)=\frac{\mathrm{3.20.}(20-5)}{2}=450$ .

Suy ra xác suất cần tìm là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{450}{C_{20}^4}=\frac{30}{323}$ .