Giả sử z1, z2 là hai số phức thỏa mãn z1 - 2 - 3i = 1 và môdun z2 + 2 + 5i = 2 và số phức z thỏa mãn môdun z - 3 - i = môdun z - 1 + i . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = môdu...

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Gọi $M\left(z_1\right)$ , khi đó $\left|z_1-2-3i\right|=1\iff M\in \left(C_1\right)$  với $\left(C_1\right)$  là đường tròn tâm $I_1(2;3)$  và $R_1=1$ .

Gọi $N\left(z_2\right)$ , khi đó $\left|z_2+2+5i\right|=2\iff N\in \left(C_2\right)$ với $\left(C_2\right)$  là đường tròn tâm $I_2(-2;-5)$  và $R_2=2$ .

Gọi $A\left(z\right)$  và $z=x+yi$ , khi đó: $\left|z-3-i\right|=\left|z-1+i\right|$

$\iff {(x-3)}^2+{(y-1)}^2={(x-1)}^2+{(y+1)}^2\iff x+y-2=0$.

Suy ra $A\in \Delta :x+y-2=0$ . Ta có: $T=AM+AN=(AM+M{I}_1)+(AN+N{I}_2)-3\ge A{I}_1+A{I}_2-3\ge I_1{I}_2-3=4\sqrt{5}-3$.

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{A\right\}=I_1{I}_2\cap \Delta$ . Vậy $T_{\min }=4\sqrt{5}-3$ .

Chú ý: Ở bài toán này do $I_1,{\text{ I}}_2$  khác phía so với  nên dấu “=” xảy ra, nếu trường hợp cùng phía ta phải lấy thêm điểm đối xứng để chuyển về khác phía.