Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B

* Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}SA\perp \left(ABC\right)\\ SC\cap \left(ABC\right)=\left\{C\right\}\end{array}\right.\Rightarrow \left(SC,\left(ABC\right)\right)=\widehat{SCA}={60}^0$

Gọi N là trung điểm của BC nên $AB//MN\subset \left(SMN\right)\Rightarrow AB//\left(SMN\right)$

$\Rightarrow d\left(AB;SM\right)=d\left(AB;\left(SMN\right)\right)=d\left(A;\left(SMN\right)\right)$

Từ A dựng đường thẳng song song với BC cắt MN tại D

Do $BC\perp AB\Rightarrow BC\perp MN\Rightarrow AD\perp MN.$

Từ A dựng $AH\perp SD\left(H\in SD\right).$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}MD\perp AD\subset \left(SAD\right)\\ MD\perp SA\subset \left(SAD\right)\\ AD\cap SA=\left\{A\right\}\end{array}\right.\Rightarrow MD\perp \left(SAD\right)\supset AH\Rightarrow MD\perp AH.$

Mà $\left\{\begin{array}{l}AH\perp SD\subset \left(SMD\right)\\ AH\perp MD\subset \left(SMD\right)\\ SD\cap MD=\left\{D\right\}\end{array}\right.\Rightarrow AH\perp \left(SMD\right)\Rightarrow AH\perp \left(SMN\right)\Rightarrow d\left(A,\left(SMN\right)\right)=AH.$

Xét tam giác SAD, có

     $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{D}^2}=\frac{1}{{\left(AC.\tan {60}^0\right)}^2}+\frac{1}{{\left(\frac{BC}{2}\right)}^2}=\frac{1}{{\left(\sqrt{{\left(3a\right)}^2+{\left(4a\right)}^2}.\sqrt{3}\right)}^2}+\frac{1}{{\left(\frac{4a}{2}\right)}^2}=\frac{79}{300a^2}.$

Vậy $d\left(AB,SM\right)=AH=\frac{10\sqrt{237}a}{79}.$