Cho hàm số f(x) > 0, mọi x thuộc [0; dương vô cùng) và có đạo hàm cấp hai liên tục

Chọn C.

Ta có

     $f"\left(x\right).f\left(x\right)-2{\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^2+2x{f}^3\left(x\right)=0$

     $\iff \frac{f"\left(x\right).f\left(x\right)-2{\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^2}{f^3\left(x\right)}=-2x$

     $\iff \frac{f"\left(x\right).f^2\left(x\right)-2{\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^2.f\left(x\right)}{f^4\left(x\right)}=-2x$

     $\iff \left[\frac{f\text{'}\left(x\right)}{f^2\left(x\right)}\right]\text{'}=-2x$

     $\Rightarrow \frac{f\text{'}\left(x\right)}{f^2\left(x\right)}=-x^2+C$

Giả thiết f'(0) = 0, f(0) = 1 nên $C=0\Rightarrow \frac{f\text{'}\left(x\right)}{f^2\left(x\right)}=-x^2\Rightarrow \frac{1}{f\left(x\right)}=\frac{x^3}{3}+C_1$

Vì $f\left(0\right)=1\iff 1=0+C_1\iff C_1=1\Rightarrow \frac{1}{f\left(x\right)}=\frac{x^3}{3}+1$

Vậy $f\left(1\right)=\frac{3}{4}.$