Cho mặt cầu tâm O, bán kính R. Hình trụ (H) có bán kính đáy là r nội tiếp mặt cầu. Thể tích khối trụ được tạo nên bởi (H) có thể tích lớn nhất khi r bằng

Đáp án B

Hình trụ nội tiếp trong mặt cầu có tâm đáy là E, có bán kính EA = r (0 < r < R), đường cao KE = 2EI.

Xét tam giác vuông IEA có $IE=\sqrt{I{A}^2-E{A}^2}=\sqrt{R^2-r^2}$

Thể tích của khối trụ là $V=h.\pi r^2=2IE.\pi r^2=2\pi r^2.\sqrt{R^2-r^2}$

Xét hàm số $y=r^2.\sqrt{R^2-r^2}$  với (0 < r < R)

Có $y\text{'}=2r.\sqrt{R^2-r^2}+r^2.\frac{-2r}{2\sqrt{R^2-r^2}}=2r.\sqrt{R^2-r^2}-\frac{r^3}{\sqrt{R^2-r^2}}=\frac{2r{R}^2-3r^3}{\sqrt{R^2-r^2}}$

$y\text{'}=0\iff 2r{R}^2-3r^3=0\iff r(2R^2-3r^2)=0\iff r=\frac{\sqrt{6}}{3}R.$

Bảng biến thiên

Nhìn Bảng biến thiên ta thấy $\iff y\ge y\left(\frac{\sqrt{6}}{3}R\right)\Rightarrow y_{\max }=y\left(\frac{\sqrt{6}}{3}R\right).$

Dấu bằng xảy ra $\iff r=\frac{\sqrt{6}}{3}R$ . Vậy thể tích hình trụ lớn nhất $\iff y_{\max }\iff r=\frac{\sqrt{6}}{3}R.$