Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên R khác 0 thỏa mãn x^2 . f^2(x) + ( 2x - 1) .f(x) = x. f'(x) - 1 với mọi x thuộc R khác 0 đồng thời f(1) = -2 . Tính tích phân từ 1 đến...

Đáp án B

Ta có $x^2.f^2\left(x\right)+(2x-1).f\left(x\right)=x.f\text{'}\left(x\right)-1$

$\iff x^2.f^2\left(x\right)+2x.f\left(x\right)+1=x.f\text{'}\left(x\right)+f\left(x\right)$

$\iff {[x.f(x)+1]}^2=[x.f(x\left)\right]\text{'}\iff {[x.f(x)+1]}^2=[x.f(x)+1]\text{'}$

$\iff \frac{[x.f(x)+1]\text{'}}{{[x.f(x)+1]}^2}=1$

$\iff \int \frac{[x.f(x)+1]\text{'}}{{[x.f(x)+1]}^2}dx=\int dx\iff \int \frac{d[x.f(x)+1]}{{[x.f(x)+1]}^2}=\int dx\Rightarrow \frac{-1}{x.f\left(x\right)+1}=x+C.$

Theo đề bài ta có $f\left(1\right)=-2$  nên C = 0 suy ra $f\left(x\right)=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}.$

Nên $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{f\left(x\right)dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}\right)dx=\left.\left(\frac{1}{x}-\ln \left|x\right|\right)\right|}_1^2=-\ln 2-\frac{1}{2}.$