Cho Parabol (P): y = x^2 . Hai điểm A, B di động trên (P) sao cho AB = 2. Khi diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi (P) và cát tuyến AB đạt giá trị lớn nhất thì hai điểm A, B có tọ...

Đáp án B

Do $A,B\in \left(P\right)$ nên giả sử $A(a;a^2),B(b;b^2)$  với b > a.

Phương trình đường thẳng AB: $\frac{x-a}{b-a}=\frac{y-a^2}{b^2-a^2}$

Hay $y=(a+b)x-ab$

Ta có $AB=2\iff {(b-a)}^2+{(b^2-a^2)}^2=4\iff {(b-a)}^2[1+{(b+a)}^2]=4$

$\iff {(b-a)}^2=\frac{4}{1+{(b+a)}^2}\le 4$. Suy ra $b-a\le 2.$

Ta có $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[\left(a+b\right)x-ab-x^2\right]dx={\left.\left[\frac{1}{2}(a+b)x^2-abx-\frac{1}{3}{x}^3\right]\right|}_a^b$

$=\left[\frac{1}{2}(a+b)b^2-a{b}^2-\frac{1}{3}{b}^3\right]-\left[\frac{1}{2}(a+b)a^2-a^{2}b-\frac{1}{3}{a}^3\right]=\frac{1}{6}{(b-a)}^3\le \frac{8}{6}=\frac{4}{3}.$

Dấu “ = ” xảy ra $\iff \left\{\begin{array}{l}b-a=2\\ b+a=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=1\end{array}\right.\Rightarrow A(-1;1),B(1;1)\Rightarrow T=2.$