Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là các số thực khác 0, mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(2; 4; 5). Biết rằng mặt cầu (S)...

Đáp án A

Phương trình mặt phẳng (ABC) là $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.$

Vì mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(2; 4; 5) nên ta có $\frac{2}{a}+\frac{4}{b}+\frac{5}{c}=1$  và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)$ .

Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 5.

Ta có $\overrightarrow{IM}=(1;2;2)$  nên IM = 3 (1)

Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (ABC).

Khi đó giao tuyến của (ABC) với mặt cầu (S) là đường tròn tâm H có chu vi bằng $8\pi$  suy ra bán kính r = 4.

Ta có $IH=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\left(2\right)$

Vì $IH\perp \left(ABC\right)$  và $M\in \left(ABC\right)$  nên $IM\ge IH$  (3)

Từ (1), (2) ta có IM = IH = 3. Do đó (3) phải xảy ra đẳng thức hay $M\equiv H.$

Khi đó $IM\perp \left(ABC\right)$  nên $\overrightarrow{IM}$  là vectơ pháp tuyến của (ABC).

Suy ra $\overrightarrow{n}=k\overrightarrow{IM}(k\ne 0)\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}=k.\\ \frac{1}{b}=2k\\ \frac{1}{c}=2k\end{array}\right.$ .

Vì $\frac{2}{a}+\frac{4}{b}+\frac{5}{c}=1$  nên $2k+8k+10k=1\iff k=\frac{1}{20}.$

Từ đó suy ra a = 20, b = 10, c = 10.

Vậy a + b + c = 40.