Cho hai số thực a,b lớn hơn 1 sao cho luôn tồn tại số thực x (0 nhỏ hơn x khác 1 thỏa mãn

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Có  $1<a,b\mathrm{,0}<x\ne 1$

Có $a^{{\log }_{b}x}=b^{{\log }_a{x}^2}\iff a^{{\log }_{b}a.{\log }_{a}x}=b^{2{\log }_{a}x}\iff a^{{\log }_{a}x.{\log }_{b}a}=b^{2{\log }_{a}x}$

$\iff x^{{\log }_{b}a}=x^{2{\log }_{a}b}\iff {\log }_{b}a=2{\log }_{a}b\iff {\log }_{b}a=2\frac{1}{{\log }_{b}a}$

$\iff {\left({\log }_{b}a\right)}^2=2\iff {\log }_{b}a=\sqrt{2}$

 (do $1<a,b$ , nên ${\log }_{b}a>0$ ) .$\iff a=b^{\sqrt{2}}$

Có $P={\ln }^{2}a+{\ln }^{2}b-\ln \left(ab\right)={\left(\ln b^{\sqrt{2}}\right)}^2+{\ln }^{2}b-\ln \left(b^{\sqrt{2}}b\right)$  .

$=2{\ln }^{2}b+{\ln }^{2}b-\left(\sqrt{2}+1\right)\ln b=3{\ln }^{2}b-\left(\sqrt{2}+1\right)\ln b.$

Đặt $t=\ln b$ , $t>0$  (do $b>1$ ).

Xét hàm số $y=f\left(t\right)=3t^2-\left(\sqrt{2}+1\right)t$ , với $t>0$ .

Có $f^{\text{'}}\left(t\right)=6t-\left(\sqrt{2}+1\right)$ ,$f^{\text{'}}\left(t\right)=0\iff 6t-\left(\sqrt{2}+1\right)=0$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên có $\min P=\underset{\left(0;+\infty \right)}{\min }f\left(t\right)=-\frac{3+2\sqrt{2}}{12}$  khi $t=\frac{\sqrt{2}+1}{6}$