Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27 cm^3 . Với chiều cao h và bán kính đáy là r .Tìm r để lượng giấy tiêu thụ ít nhất

Đáp án B

Ta có: $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h\Rightarrow h=\frac{3V}{\pi r^2}$.

Độ dài đường sinh là: $l=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{{\left(\frac{3V}{\pi r^2}\right)}^2+r^2}=\sqrt{{\left(\frac{81}{\pi r^2}\right)}^2+r^2}=\sqrt{\frac{3^8}{{\pi }^2{r}^4}+r^2}$.

Diện tích xung quanh của hình nón là: $S_{xq}=\pi rl=\pi r\sqrt{\frac{3^8}{{\pi }^2{r}^4}+r^2}=\pi \sqrt{\frac{3^8}{{\pi }^2{r}^2}+r^4}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được giá trị nhỏ nhất là khi $r=\sqrt[6]{\frac{3^8}{2{\pi }^2}}$.