Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên R . Có đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Ta có $2f\left(x\right)>x^2+m\iff 2f\left(x\right)-x^2>m$ , với mọi $x\in \left[-2;3\right]$ .

Đặt $g\left(x\right)=2f\left(x\right)-x^2$  xét trên đoạn $x\in \left[-2;3\right]$ .

$g\text{'}\left(x\right)=2\left[f\text{'}\left(x\right)-x\right]$.

Vẽ đường thẳng $y=x$  cùng với đồ thị hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$  trên cùng một hệ trục tọa độ.

Ta có: $g\text{'}\left(x\right)=0\iff f\text{'}\left(x\right)=x\iff \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ x=1\\ x=3\end{array}\right.$

Bảng biến thiên:

Gọi $S$  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\text{'}\left(x\right),y=x,x=-\mathrm{2,}x=1$

Gọi $H$  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\text{'}\left(x\right),y=x,x=\mathrm{1,}x=3$

Dựa vào đồ thị dễ thấy $S>H\iff S-H>0$

Ta có:$\begin{array}{l}\underset{-2}{\overset{3}{\int }}\frac{g\text{'}\left(x\right)}{2}dx=\frac{1}{2}\left[\underset{-2}{\overset{1}{\int }}g\text{'}\left(x\right)dx+\underset{1}{\overset{3}{\int }}g\text{'}\left(x\right)dx\right]=\frac{1}{2}\left(S-H\right)>0\\ \Rightarrow \underset{-2}{\overset{3}{\int }}\frac{g\text{'}\left(x\right)}{2}dx>0\iff \frac{g\left(x\right)}{2}\left|{}_{-2}^3>0\right.\iff \frac{g\left(3\right)-g\left(2\right)}{2}>0\iff g\left(3\right)-g\left(2\right)>0\\ \Rightarrow \underset{x\in \left[-2;3\right]}{\min }g\left(x\right)=g\left(-2\right)\end{array}$

Để bất phương trình $g\left(x\right)=2f\left(x\right)-x^2>m$  đúng với mọi $x\in \left[-2;3\right]$  thì $\underset{x\in \left[-2;3\right]}{\min }g\left(x\right)>m\Rightarrow g\left(-2\right)>m\iff m<2f\left(-2\right)-4$.