Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Tam giác SAB vuông tại S

Đáp án C

Gọi $D\text{'}$  là đỉnh thứ tư của hình bình hành $SADD\text{'}$.

Khi đó $DD\text{'}//SA$  mà $SA\perp \left(SBC\right)$  nên $DD\text{'}\perp \left(SBC\right)$.

Ta có $\widehat{\left(SD,\left(SBC\right)\right)}=\alpha =\widehat{DSD\text{'}}=\widehat{SDA}$ , do đó $SA=AD.\tan \alpha =2a\tan \alpha$

Đặt $\tan \alpha =x,x\in \left(0;1\right)$

Gọi $H$  là hình chiếu của $S$  lên $AB$ , ta có $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SH.S_{ABCD}=\frac{4a^2}{3}.SH$

Do đó $V_{S.ABCD}$  đạt giá trị lớn nhất khi $SH$  lớn nhất.

Vì $\Delta SAB$ vuông tại $S$  nên 

$SH=\frac{SA.AB}{AB}=\frac{SA\sqrt{A{B}^2-S{A}^2}}{AB}=\frac{2ax\sqrt{4a^2-4a^2{x}^2}}{2a}=2ax\sqrt{1-x^2}\le 2a.\frac{x^2+1-x^2}{2}=a$.

Từ đó $\max SH=a$  khi $\tan \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy $\max V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}a.4a^2=\frac{4}{3}{a}^3$.