Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x, y lớn hơn hoặc bằng 0, z lớn hơn hoặc bằng -1 và

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Từ giả thiết ta có: $\begin{array}{l}{\log }_2\frac{x+y+1}{4x+y+3}=2x-y\iff 1+{\log }_2\frac{x+y+1}{4x+y+3}=2x-y+1\\ \iff {\log }_2\frac{2x+2y+2}{4x+y+3}=2x-y+1\iff {\log }_2\frac{2x+2y+2}{4x+y+3}=\left(4x+y+3\right)-\left(2x+2y+2\right)\\ \iff {\log }_2\left(2x+2y+2\right)+\left(2x+2y+2\right)={\log }_2\left(4x+y+3\right)+\left(4x+y+3\right)\end{array}$

Xét hàm $f\left(t\right)={\log }_{2}t+t$  có $f\text{'}\left(t\right)=\frac{1}{t\ln t}+1>0\Rightarrow f\left(t\right)$  đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$ .

$\Rightarrow f\left(2x+2y+2\right)=f\left(4x+y+3\right)\iff 2x+2y+2=4x+y+3\iff y=2x+1$.

Thay vào biểu thức $T$  ta được $T=\frac{{\left(x+z+1\right)}^2}{3x+y}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{x+2z+3}=\frac{{\left(x+z+1\right)}^2}{5x+1}+\frac{{\left(2x+3\right)}^2}{x+2z+3}$

Áp dụng bất đẳng thức: $T=\frac{{\left(x+z+1\right)}^2}{5x+1}+\frac{{\left(2x+3\right)}^2}{x+2z+3}\ge \frac{{\left(x+z+1+2x+3\right)}^2}{5x+1+x+2z+3}=\frac{{\left(3x+z+4\right)}^2}{6x+2z+4}=\frac{1}{2}.\frac{{\left(3x+z+4\right)}^2}{3x+z+2}$

Đặt $\begin{array}{l}t=3x+z+2\\ \Rightarrow T\ge \frac{1}{2}.\frac{{\left(t+2\right)}^2}{t}=\frac{1}{2}\left(t+\frac{4}{t}+4\right)\ge \frac{1}{2}.\left(2.\sqrt{t.\frac{4}{t}}+4\right)=4\end{array}$

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}y=2x+1\\ t=2=3x+z+2\\ \frac{x+z+1}{5x+1}=\frac{2x+3}{x+2z+3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=z=0\\ y=1\end{array}\right.$

Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T$ là $T_{\min }=4$.