Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đạo hàm f'(x) = x^2( x - 2)(x^2 - 6x + m) với mọi x thuộc R . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [-2019;2019] để hàm số

Đáp án B

$g\left(x\right)=f\left(\left|1-x\right|\right)=f\left(1-x\right),\forall x\in \left(-\infty ;-1\right)$

Suy ra $g\text{'}\left(x\right)=\left[f\left(\left|1-x\right|\right)\right]\text{'}=-f\text{'}\left(1-x\right)=-{\left(1-x\right)}^2\left(1-x-2\right)\left[{\left(1-x\right)}^2-6\left(1-x\right)+m\right]$

$={\left(x-1\right)}^2\left(x+1\right)\left[x^2+4x+m-5\right]$

Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng  $\left(-\infty ;-1\right)\iff g\text{'}\left(x\right)\le 0$ với mọi x < -1 (dấu " = " chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm)

$\iff x^2+4x+m-5\ge 0$ với mọi $x\in \left(-\infty ;-1\right)$ (vì ${\left(x-1\right)}^2\left(x+1\right)<\mathrm{0,}\forall x\in \left(-\infty ;-1\right)$ )

 $\iff {\left(x+2\right)}^2\ge 9-m$ với mọi $x\in \left(-\infty ;-1\right)$ $\iff 9-m\le 0\iff m\ge 9$

Do m nguyên và [-2019; 2019] nên suy ra $m\in \left\{9;10;11;\mathrm{...};2019\right\}$ .

Vậy có 2011 giá trị nguyên của m thỏa mãn điểu kiện.