Biết số phức z = x + yi,(x,y thuộc R ), thỏa mãn điều kiện môdun z - 2 - 4i = môdun z - 2i và có môđun nhỏ nhất

Đáp án B

Ta có z = x + yi, ($x,y\in ℝ$ ). Khi đó, điểm M(x;y) là điểm biểu diễn của số phức z.

$\left|z-2-4i\right|=\left|z-2i\right|\iff \sqrt{{\left(z-2\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2}=\sqrt{x^2+{\left(y-2\right)}^2}\iff x+y-4=0$

$\Rightarrow$Tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z là đường thẳng $\left(\Delta \right):x+y-4=0$

Gọi H là hình chiếu của gốc tọa độ O lên đường thẳng (Δ) .

Ta có $\left|z\right|=OM\ge OH$  . Do đó,$\left|z\right|$  nhỏ nhất$\iff OM=OH\iff M\equiv H$. 

Mặt khác,  $OH\perp \left(\Delta \right)$ và đi qua gốc tọa độ O nên ta được $\left(OH\right):x-y=0$

Ta có $H=OH\cap \Delta$ nên tọa độ H là nghiệm hệ $\left\{\begin{array}{l}x-y=0\\ x+y-4=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=2\end{array}\right.$

Vậy $P=x^2+y^2=8$.