Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB = 2a. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC)

Đáp án B

Cách 1. Gọi E là điểm đối xứng với H qua điểm B ta có:

A'H // B'E và  $B\text{'}E\perp \left(ABC\right)\Rightarrow B\text{'}E=A\text{'}H=a\sqrt{3}$

Kẻ $EK\perp BC;EF\perp B\text{'}K$ . Ta có $BC\perp \left(B\text{'}EK\right)\Rightarrow BC\perp B\text{'}K$  .

Khi đó $\left(\left(BCC\text{'}B\text{'}\right),\left(ABC\right)\right)=\left(B\text{'}K,EK\right)=\widehat{B\text{'}KE}$.

Xét tam giác KEB vuông tại K và $\widehat{KBE}=60°$  ta có $EK=BE\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}a$

Xét tam giác B'EK vuông tại E có $\tan \widehat{B\text{'}KE}=\frac{B\text{'}E}{EK}=\frac{a\sqrt{3}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=2$

Cách 2. [Phương pháp tọa độ]

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho  $H\left(0;0;0\right),B\left(a;0;0\right),A\left(-a;0;0\right),C\left(0;a\sqrt{3};0\right),A\text{'}\left(0;0;a\sqrt{3}\right)$

Mặt phẳng (ABC): z = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$

Mặt phẳng (BCB') có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BB\text{'}}\right]=a^2\sqrt{3}\left(\sqrt{3};1;-1\right)$

$\cos \left(\left(BCC\text{'}B\text{'}\right),\left(ABC\right)\right)=\frac{\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{k}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|.\left|\overrightarrow{k}\right|}=\frac{\sqrt{5}}{5}\Rightarrow \tan \left(\left(BCC\text{'}B\text{'}\right),\left(ABC\right)\right)=2$.